Bernd & Natalie

Was ist ein Plasma?
Bewegung von einzelnen Teilchen
Fluid-Bild
Plasmawellen
Single-Fluid MHD Gleichungen
Hydrodynamisches Gleichgewicht, Plasma Beta
Gravitationsinstabilität
Kinetische Theorie

Was ist ein Plasma?

Ein Plasma ist ein Gas, das aus neutralen und elektrisch geladenen Teilchen besteht. Ein normales Gas enthält nur neutrale Teilchen, die dann wild durcheinander fliegen und miteinander stoßen. Da das Plasma aber auch aus geladenen Teilchen besteht, sind die Teilchen durch elektromagnetische Kräfte aneinander gekoppelt. Damit können zum Beispiel eine ganze Menge Wellen in einem Plasma angeregt werden.

Und wo gibt es Plasmen? Jaa - überall! 99 % der Materie im Universum, sagt man, sei im Plasmazustand. Zufälligerweise ergibt es sich, daß wir gerade im verbleibenden 1 % leben, in denen Plasmen sehr selten sind. Beispiele für Plasmen auf der Erde sind Blitze und Nordlichter. Eine hohe Schicht der Atmosphäre (Ionosphäre) genannt, bildet ein Plasma und alles, was weiter da draußen ist: die Sonne, Sterne, Gasnebel, ... Und in Neon-Röhren ist auch Plasma.

Der Ionisationsgrad eines Plasmas wird durch die Saha-Gleichung beschrieben:

Sie gibt das Verhältnis von ionisierten zu neutralen Teilchen an. Bei Raumtemperatur ist die Ionendichte unvorstellbar klein:

Das liegt vor allem daran, daß die Dichte so hoch ist, daß die Teilchen so oft stoßen, daß sie, einmal ionisiert, gleich wieder neutralisiert werden.

Eine typische Größe in Plasmen ist die Debye-Länge. Befinden sich Elektronen nahe einem geladenen Ionen, so schirmen sie dessen Ladung ab. Im Gegensatz zum ungestörten Coulomb-Potential fällt die Verteilung dann schneller ab. Bei der Debye-Länge ist sie genau auf 1/e abgefallen. Die Debye-Länge

kann man einfach mit der Boltzmann-Relation

und der Poisson-Gleichung herleiten.

Drei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Plasma ein Plasma ist: Die Debye-Länge muß kleiner sein als die Abmessungen des Plasmas, die Anzahl der Partikel in der Debye-Kugel muß sehr viel größer als eins sein, und die typische Plasmafrequenz mal die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Kollisionen muß größer sein als Eins.

Bewegung von einzelnen Teilchen

Betrachten wir nun einzelne Teilchen, die sich in einem Plasma bewegen. Ein Teilchen ist einer Kraft

ausgesetzt. Auf der rechten Seite steht die Lorentzkraft: Teilchen werden in einem E-Feld beschleunigt oder gebremst, und die Bewegung senkrecht zu einem Magnetfeld führt zu einer Ablenkung (die rechte-Hand-Regel). Das zwingt die Teilchen auf eine spiralförmige Bahn.

Die Frequenz der Teilchen auf der Bahn läßt sich leicht aus dieser Gleichung ausrechnen, sie ist

Das ist die sogenannte Zyklotron-Frequenz, eine wichtige Größe in der Elektrodynamik. Der Larmor-Radius ist gegeben durch

Durch eine Kraft senkrecht zum Magnetfeld wird das Teilchen abgelenkt, haben wir gesagt. Die allgemeine Form ist:

Die Kraft könnte zum Beispiel von einem elektrischen Feld kommen, dann bekommen wir die ExB-Drift:

oder von einer Gravitationskraft

Das wichtige an dieser Stelle ist, daß die Formel für die Gravitationskraft die Ladung q enthält. In einem Plasma nehmen wir meistens Elektronen und Protonen an, erstere sind negativ geladen und zweitere positiv. Die ExB-Drift hingegen macht keinen Unterschied zwischen Elektronen und Protonen.

Außer diesen einfachen Fällen gibt es eine Reihe weiterer "Drifts", zum Beispiel kann das Magnetfeld unterschiedlich stark sein, das wäre einmal die gradB-Drift:

oder es kann gekrümmt sein

Nimmt das Magnetfeld entlang der Magnetfeldlinien ab, so kann man "magnetische Spiegel" bauen: Schickt man ein Teilchen in eine Richtung, so wird es an einer bestimmten Stelle reflektiert und kommt zurück. So kann man geladene Teilchen "einfangen".

Plasma im Fluid-Bild

Die Bewegung von einzelnen Teilchen zu beobachten, ist ein bißchen vereinfacht. Im Partikel-Bild sind die Teilchen unabhängig voneinander und wir können von außen Felder an unser Plasma anlegen. In Wirklichkeit reagiert aber das Plasma auf die externen Felder, in dem es sich so bewegt, daß es selbst Felder aufbaut. Ein Problem, in dem sich alles wieder selbst beeinflußt, kann sehr kompliziert werden.

Im Fluid-Bild geht man deswegen davon aus, daß sich das Plasma nicht wie eine lose Sammlung von Teilchen verhält, sondern wie eine Flüssigkeit. Wir beschreiben also nicht mehr einzelne Teilchen, sondern alle auf einmal, in dem wir eine Teilchendichte annehmen: eine mathematische Verteilung der Teilchen. Die Fluid-Gleichung sieht deshalb ganz ähnlich aus wie die Kraftgleichung, die wir schon kennen:

Wir haben die Dichte n eingefügt und auf der rechten Seite haben wir wieder unseren Druckgradienten und hier noch einen Kollisionsterm. Die Kollisionen zwischen den Teilchen sind proportional zur relativen Geschwindigkeit, mit der die Teilchen stoßen, und tau ist die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Stößen.

Die konvektive Ableitung benutzt man oft in der Strömungsmechanik. Anschaulich gesagt bedeutet dieser Term, daß man sich auf ein "Fluidpartikel" setzt und sich mit ihm mitbewegt, und bezüglich dieses Koordinatensystems beschreibt man die Veränderungen und Kräfte. Alternativ kann man sich auch an eine fixe Stelle setzen und nur die Partikel beobachten, die vorbeiströmen.

Die zweite wichtige Gleichung neben der Impuls-Gleichung (oder Bewegungsgleichung genannt) ist die Kontinuitätsgleichung. Das ist eine ganz einfache Sache: Wir betrachten eine Box in dem Fluid und zählen die Teilchen, die drinnen sind. Die Kontinuitätsgleichung sagt einfach nur, daß das, was nach einer bestimmten Zeit in der Box an Teilchen fehlt oder dazugekommen ist, daß das durch die Wände in die Box rein- oder rausgekommen sein muß. Kann ja auch nicht anders sein, schließlich kann nicht einfach etwas verschwinden.

Die Kontinuitätsgleichung (und alle anderen Gleichungen, aber die Kontinuitätsgleichung ist die "simpelste") können auch aus der kinetischen Theorie hergeleitet werden. Das ist der alternative Ansatz zum Fluid-Bild, in dem wir wirklich jedes einzelne Teilchen betrachten. Es kommt, glücklicherweise, dasselbe dabei heraus.

Zwei Gleichungen sind nicht genug! Schließlich haben wir ganz viele Unbekannte: die Felder, die Geschwindigkeit, die Dichte. Wir brauchen so viele Gleichungen wie Unbekannte. Aber wir haben noch die Grundgleichungen der Elektrodynamik, die Maxwell-Gleichungen:

Die erste Gleichung, die Poisson-Gleichung, besagt, daß die Ladung die Quelle des elektrischen Feldes ist. Das magnetische Feld, im Gegensatz, hat keine Quellen, das ist die dritte Gleichung, das Gaußsche Gesetz. Nach dem zweiten, Faraday, induziert jedes elektrische Feld auch ein magnetisches Feld. Das letzte, Ampere, verknüpft das Magnetfeld mit den Strömen, das sogenannte Durchflutungsgesetz.

Als letzte Gleichung fügen wir noch die Zustandsgleichung für den Druck zu.

Betrachten wir als einfaches Beispiel eine Fluiddrift senkrecht zu B. Wenn die Teilchen im Plasma nicht gleichverteilt sind, zum Beispiel weil sie durch Magnetfelder abgelenkt wurden, tritt als zusätzlicher Term ein Druckgradient auf. Die zu vernachlässigenden Terme habe ich schon weggelassen:

Die Driftgeschwindigkeiten, die dabei auftreten, lassen sich ganz einfach ausrechnen wenn wir das Kreuzprodukt bilden

Der zweite Term ist die diamagnetische Drift.

Wellen im Plasma

Das Prinzip, mit dem wir Wellen untersuchen, ist immer das gleiche: Wir überlegen uns, was für ein System wir betrachten, zum Beispiel wollen wir kein externes Magnetfeld, oder eine Welle mit einer bestimmten Bewegungsrichtung. Das vereinfacht unsere Gleichungen. Dann nehmen wir an, die Störungen seien klein. Kleine Sachen sind deswegen so beliebt, weil man sie, wenn man sie quadriert, einfach wegwerfen kann (weil sie durch das Quadrieren noch viel, viel kleiner werden). Man nennt das "Linearisierung". Lineare Sachen sind toll, weil wir dann ebene Wellen annehmen können. Ebene Wellen sind die einfachste Funktionen, die alle unsere Gleichungen lösen. Wir müssen dann nur noch schauen wie die Welle im Detail aussieht.

Stellen wir uns ein negativ geladenes Ion vor, das an einer Stelle sitzt. Ionen sind durch ihre viel größere Masse viel unbeweglicher als Elektronen und wir können sie uns fixiert vorstellen. Die Elektronen dagegen sind leicht und schnell und können sich leicht bewegen. Das Plasma allerdings versucht die Ladungsneutralität aufrechtzuerhalten, und wenn sich das Elektron vom Ion wegbewegt, wird es von der elektromagnetischen Kraft zurückgezogen. Dabei kommt es in Schwingung um das Ion - das ist die Plasmaoszillation.

Deren Frequenz, die Plasmafrequenz, ist eine grundlegende Eigenschaft des Plasmas. Wir berechnen sie unter fünf Voraussetzungen: Das Hintergrund-Magnetfeld ist Null, das Plasma ist unendlich ausgedehnt, die Temperatur ist Null, die Ionen bewegen sich nicht und die Schwingung findet entlang einer Koordinatenachse statt. Aus der linearisierten Bewegungsgleichung, der Kontinuitätsgleichung und der Poisson-Gleichung folgt dann

Diese Wellen propagieren nicht, also sie bewegen sich nur hin und her, aber sie bewegen sich im Raum nicht fort. Erlauben wir allerdings einen Druckgradienten

(gamma ist 3, weil wir nur einen Freiheitsgrad haben, und gamma = (f+2)/f ist.)

so erhalten wir eine Welle, die propagieren kann

Im Plasma können sich auch Schallwellen ausbreiten. Die Schallgeschwindigkeit kann man aus Navier-Stokes- und der Kontinuitätsgleichung herleiten, sie ist:

Für akustische Ionenwellen ergibt sich damit eine Schallgeschwindigkeit von:

Schalten wir nun das Magnetfeld an. Elektrostatische, longitudinale Elektronenwellen, die sich senkrecht zum Magnetfeld ausbreiten, sind durch diese Dispersionsrelation gegeben:

wobei omega_h die obere Hybridfrequenz ist. Für die entsprechenden Ionenwellen ergibt sich:

Sind die Wellen nicht genau senkrecht zum Magnetfeld, sondern leicht schräg, so können Elektronen noch schwingen und die Ladung noch abschirmen, dann ergibt sich die Dispersionsrelation zu:

die sogenannten ion cyclotron waves. omega_l ist die niedere Hybridfrequenz.

Elektromagnetische Wellen wie Licht oder Radar haben eine leicht modifizierte Dispersionsrelation wenn sie sich im Plasma bewegen. Im Vakuum ist diese

was sich aus der zweiten Maxwell-Gleichung ergibt, wenn man ein Kreuz B von rechts anmultipliziert und die vierte Maxwell-Gleichung benutzt. Im Plasma ist sie um die Plasmafrequenz modifiziert:

Sie kann hergeleitet werden, wenn man den Term mit der Stromdichte in der vierten Maxwell-Gleichung noch hinzufügt. Anschaulich bedeutet daß, wenn eine Welle in ein Plasma läuft, daß k kleiner wird, weil die Plasmafrequenz positiv ist und die Summe konstant bleiben muß. Die Wellenlänge wird also größer, während die Welle im Plasma propagiert, und wenn sie wieder austritt ist sie so groß wie vorher.

Für elektromagnetische Wellen, die sich senkrecht zu einem Magnetfeld bewegen, gibt es zwei Möglichkeiten: das E-Feld kann parallel zum Magnetfeld sein, dann ist die Welle linear polarisiert und ihre Dispersionsrelation ist gleich der elektromagnetischen Welle mit fehlendem Hintergrundmagnetfeld. Sie nennt sich denn "ordentliche" Welle. Graphisch sieht das so aus:

Bei der Plasmafrequenz hat die Kurve eine Polstelle, dies ist der sogenannte cut-off: Hier geht k gegen Null, sprich die Wellelänge gegen unendlich. Die Welle wird dann reflektiert.

Ist das E-Feld senkrecht zum B-Feld, so ist die Welle elliptisch polarisiert, sie nennt sich "außerordentliche" Welle und ihre Dispersionsrelation ist:

Sie hat zwei cut-off-Frequenzen, bei omega_r und omega_l, die gegen sind durch:

Bei omega_h hat sie auch eine Resonanz, hier wird k unendlich, die Wellenlänge wird Null und die Welle wird damit absorbiert.

Für die Welle, die sich parallel zum B-Feld bewegt, gibt es zwei mathematische Lösungen

Die L-Welle hat einen cut-off bei omega_l und ist etwas langsamer als die R-Welle bei gegebener Frequenz. Darauf basiert die Faraday-Rotation: wenn beide Wellen propagieren (bei omega größer omega_R), aber die R-Welle etwas schneller ist, führt das dazu, daß die Polarisationsebene rotiert wird.

Die R-Welle hat einen cut-off bei omega_r, eine Resonanz bei omega_c, und einen positiven Wert zwischen omega und omega_c. Dieser Zweig der R-Welle ist der sogenannte Whistler-Mode.

Es gibt noch eine Reihe anderer Phänonene, wie die hydromagnetische und die magnetosonische Welle, auch Alfven- und schnelle Alfven-Welle genannt. Dies sind niederfrequente Ionen bzw. elektromagnetische Wellen senkrecht zum Magnetfeld. Die Alfven-Geschwindigkeit ist:

und Dispersionsrelation der magnetosonischen Welle ist

Die ordentliche, außerordentliche, R- und L-Welle kann man auf allgemeine Art aus der Dispersionsreation für ein kaltes Plasma ableiten. Die Herleitung dieser allgemeinen Dispersionsrelation ist etwas länglich, im Prinzip betrachtet man dabei Plasma als Dielektrikum mit internen Strömen und berechnet den effektiven dielektrischen Strom.

Single-Fluid MHD Gleichungen

Bisher haben wir für jede Spezies eine eigenen Fluid-Gleichung benutzt, immer eine Gleichung für Elektronen und eine für Ionen beispielsweise. Bei den magneto-hydrodynamischen Gleichungen kombiniert man beide Gleichungen zu einer, die dann so aussieht:

Dies ist die Single-Fluid-Bewegungsgleichung. Macht man eine andere lineare Kombination der beiden ursprünglichen Gleichungen kommt man zum verallgemeinerten Ohmschen Gesetz:

Der jxB-Term auf der rechten Seite ist der Hall-Strom. Die letzten beiden Terme sind im allgemeinen klein und werden oft vernachlässigt. Die verkürzte Gleichung lautet dann

eta ist dabei der Widerstand. Ergänzt um die Massenkontinuität

und Ladungskontinuität

ergibt sich so der gesamte Satz der magneto-hydrodynamischen Gleichungen. Diese einfachen Gleichungen werden oft benutzt um Gleichgewichte in Plasmen zu beschreiben und bieten sich an für Probleme, in denen es um den Widerstand geht.

Hydromagnetic Equilibrium and Plasma Beta

Betrachten wir einen Gleichgewichtszustand (also Zeitableitung gleich Null) und ohne Gravitationskräfte. Es ergibt sich

Der Druckgradient, das B-Feld und der Strom müssen also im Gleichgewicht sein, und gleichzeitig sind sie rechtwinklig zueinaner. Das bedeutet, daß B-Feld und Strom sich immer auf Ebenen gleichen Drucks bewegen - eine sehr einfach Relation.

Die Amplitude des Stroms läßt sich berechnen, wenn wir das Kreuzprodukt mit B bilden (immer das gleiche!). j ist dann

Dies ist der diamagnetische, den wir schon kennen. Im Teilchen-Bild kam er von der Larmor-Gyration der Teilchen im Magnetfeld, im magneto-hydrodynamischen Bild wird er vom Druckgradienten erzeugt, um das Gleichgewicht aufrechtzuerhalten.

Setzen wir die vierte Maxwell-Gleichung in unser Gleichgewicht ein, so können wir eine konstante Größe ableiten

Dies ist die Summe von Partikeldruck und magnetischem Felddruck, die konstant ist. Das Verhältnis von beiden

wird beta genannt. Bei üblichen niedrig-beta Plasmen, wie wir sie bisher betrachtet haben, liegt beta im Bereich

Gravitationsinstabilität

Wir wollen untersuchen, ob solch ein System stabil ist, wenn eine Gravitationskraft wirkt. Dafür haben wir eine Schicht mit Plasma über einer Schicht ohne Plasma, das von einem Magnetfeld durchsetzt ist.

Die Gewichtskraft, die nach unten zieht, bewirkt eine Drift, dessen Richtung, wie wir gesehen haben, abhängig von der Ladung ist! Die Ionen wollen also nach links im Bild, während die Elektronen nach rechts wollen. Solange alles eben ist, passiert nicht viel, aber durch zufällige thermische Fluktuationen wird sich eine kleine Unebenheit bilden. Zeichnen wir das mal gleich übertrieben:

Jetzt haben wir die Ionen also auf der einen, die Elektronen auf der anderen Seite. Das erzeugt ein elektrisches Feld. Dieses elektrische Feld bewirkt eine ExB-Drift. Und diese ExB-Drift ist zufälligerweise genau so, daß die Welle sich verstärkt. Der Berg wird nach oben gezogen und das Tal nach unten.

Man kann die Rate ausrechnen, mit der diese Instabilität wächst, sie ist:

Kinetische Theorie

Wie bereits erwähnt, ist die kinetische Theorie ein anderer Zugang zu den Fluidgleichungen. In der kinetischen Theorie hat jedes einzelne Teilchen sieben Freiheitsgrade: drei Ortskoordinaten, drei Geschwindigkeitskoordinaten und eine Zeitkoordinate. Im Fluid-Bild nehmen wir stattdessen an, daß alle Geschwindigkeiten Maxwell-verteilt sind, dann kann sie durch eine gemeinsame Temperatur T ersetzt werden.

Nach Liouville ist das Volumen im Phasenraum konstant und kann sich nur durch Stöße vergrößern. Wir bilden die Verteilung nach einer Zeit Delta t: